Didáctica de las Matemáticas: PENSAMIENTOS MATEMÁTICOS

QUE ES LA MATEMÁTICAS

La matemática es la ciencia deductiva que se dedica al estudio de las propiedades de los entes abstractos y de sus relaciones. Esto quiere decir que las matemáticas trabajan con números, símbolos, figuras geométricas, etc.

Es posible dividir las matemáticas en distintas áreas o campos de estudio. En este sentido puede hablarse de la aritmética (el estudio de los números), el álgebra (el estudio de las estructuras), la geometría (el estudio de los segmentos y las figuras) y la estadística (el análisis de datos recolectados), entre otras.

PENSAMIENTO NÚMERICO Y SISTEMAS NÚMERICOS

Comprensión del conteo, del concepto de número y de las relaciones ariméticas como de los sistemas numéricos. Se pretende desarrollar el sentido numérico, descomponiendo números de manera natural, realizar operaciones matemáticas resolviendo problemas, comprensión y reconocimiento de magnitudes en los números todo esto hace referencia a este pensamiento, para lo cual se preparan a los estudiantes en:

Comprender los números, las formas de representarlos, las relaciones entre ellos y los sistemas numéricos

Comprender el significado de las operaciones y como se relacionan unas con otras

Hacer computos de manera fluida y hacer estimaciones razonables

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS

El pensamiento espacial constituye un componente esencial del pensamiento matemático, está referido a la percepción intuitiva o racional del entorno propio y de los objetos que hay en él. El desarrollo del pensamiento espacial, asociado a la interpretación y comprensión del mundo físico, permite desarrollar interés matemático y mejorar estructuras conceptuales y destrezas numéricas. El pensamiento espacial constituye un componente esencial del pensamiento matemático, está referido a la percepción intuitiva o racional del entorno propio y de los objetos que hay en él. El desarrollo del pensamiento espacial, asociado a la interpretación y comprensión del mundo físico, permite desarrollar interés matemático y mejorar estructuras conceptuales y destrezas numéricas.

Los sistemas geométricos se construyen a través de la exploración activa y modelación del espacio tanto para la situación de los objetos en reposo como para el movimiento. Esta construcción se entiende como un proceso cognitivo de interacciones, que avanza desde un espacio intuitivo o sensorio-motor (que se relaciona con la capacidad práctica de actuar en el espacio, manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas, cálculos espaciales, etc.), a un espacio conceptual o abstracto relacionado con la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de referencia y prediciendo los resultados de manipulaciones mentales.

Con el desarrollo de este estándar se prepara a todos los estudiantes para:

Analizar las características y propiedades de las formas geométricas bidimensionales y tridimensionales y desarrollar argumentos acerca de las relaciones geométricas.
Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas.
Especificar localizaciones y describir relaciones espaciales usando la geometría coordenada y otros sistemas de representación.
Usar la visualización, el razonamiento espacial y la modernización geométrica para resolver problemas.

EL PENSAMIENTO ESPACIAL

El pensamiento espacial, se define como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales en ella se contempla las actuaciones del sujeto en todas sus dimensiones y relaciones espaciales para interactuar de diversas maneras con los objetos situados en el espacio, desarrollar variadas representaciones y, a través de la coordinación entre ellas, hacer acercamientos conceptuales que favorezcan la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales.

El pensamiento espacial pareciera haber sido tratado tradicionalmente como una habilidad carente de conocimiento o difícilmente asociable al mismo. En tal sentido, la tradición pedagógica ha perpetuado un error que de no haberse cometido podría significar que el estadío tecnológico actual fuese muy distinto.

Este pensamiento comprende el estudio geometría, los estudiantes aprenden acerca de las formas geométricas y sus estructuras y como analizar sus características y relaciones. La visualización espacial entendida como la construcción y la manipulación de representaciones mentales de objetos de dos y tres dimensiones y la percepción de los objetos desde diferentes perspectivas, es un aspecto muy importante de este pensamiento.

Hay que señalar que la representación visual, en su evolución, siempre intenta simular la perspectiva tridimensional. Y la capacidad para traducir entre representaciones bidimensionales y tridimensionales es fundamental para ampliar las posibilidades del pensamiento espacial. Por ejemplo: un mapa conceptual bien puede derivar en una red tridimensional, y un mapa mental bien podría ser un conjunto de terminales en el espacio alrededor de un núcleo.

SISTEMA GEOMÉTRICO

El sistema geométrico y de medidas busca formalizar y potenciar el conocimiento intuitivo que tiene el estudiante de su realidad espacio- temporal, por medio de la identificación de formas y medida de sólidos.

El tratamiento de la noción de medida favorece la interpretación numérica de la realidad, estimando de manera objetiva las características físicas de distintos elementos y situaciones en su contexto.

Este sistema posibilita el desarrollo de destrezas y habilidades desarrolladas con la comprensión y el manejo de entes matemáticos distintos de los numéricos, mediante el contacto con formas y cuerpos tomados de su entorno.

FIGURAS GEOMÉTRICAS

Una figura geométrica es un conjunto cuyos elementos son puntos. La geometría es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el espacio o en el plano, estudia sus características: forma, extensión, posición relativa, propiedades.

ELEMENTOS DEL PENSAMIENTO ESPACIAL

En el pensamiento espacial se debe:

-Habilidad para imaginar una representación tridimensional desde distintas perspectivas
-Habilidad para visualizar - concreta mente e imaginariamente - efectos de reflexión e inversión de objetos-imágenes.
-Comprender objetos tridimensionales partiendo de gráficos bidimensionales y viceversa.

RELACIONES

Las relaciones son las distintas conexiones que podemos hacer entre los elementos.

Estas relaciones y elementos se agrupan en tres grandes bloques y que a la vez, según Piaget, determinan el orden en que son adquiridos por los niños:

Relaciones topológicas: Son aquellas relaciones que no varían por una deformación
bicontinua (dos veces continua, que no varía ni por estirar ni por girar).
Ejemplos: Número de lados, abierto, cerrado, orden.

Relaciones proyectivas: Son las relaciones que varían al cambiar el punto de proyección (el punto de vista desde donde los miro).
Ejemplos: arriba, abajo, derecha, detrás, delante.

Relaciones métricas: Son todas las relaciones que dependen de medidas.
Ejemplo: paralelo, ángulo recto.

PENSAMIENTO METRICO Y SISTEMA DE MEDIDAS

El estudio de la medida es importante en el currículo de las matemáticas desde preescolar hasta el grado
undécimo debido a su practicidad en muchos aspectos de la vida diaria. El estudio de la medición también ofrece una oportunidad para aprender aplicar las operaciones, las ideas geométricas, los conceptos de estadística y las nociones de función.

Con el desarrollo de este estándar se prepara a todos los estudiantes para:
• Aplicar técnicas apropiadas, herramientas y formulas para determinas las
diferentes clases de medidas.
• Comprender los atributos medibles de los objetos y las unidades,

La interacción dinámica que genera el proceso de medir entre el entorno y los estudiantes, hace que éstos encuentren situaciones de utilidad y aplicaciones prácticas donde una vez más cobran sentido las matemáticas.

Actividades de la vida diaria relacionadas con las compras en el supermercado, con la cocina, con los deportes, con la lectura de mapas, con la construcción, etc., acercan a los estudiantes a la medición y les permiten desarrollar muchos conceptos y destrezas matemáticas. La desatención de la geometría como materia de estudio en las aulas y el tratamiento de los sistemas métricos desde concepciones epistemológicas y didácticas sesgadas, descuida por un lado el desarrollo histórico de la medición y por otro reduce el proceso de medir a la mera asignación numérica.

No es extraño, en nuestro medio, introducir a los niños y a las niñas en el mundo de la medida con instrumentos refinados y complejos descuidando la construcción de la magnitud objeto de la medición y la comprensión y el desarrollo de procesos de medición cuya culminación sería precisamente aquello que hemos denunciado como prematuro.

No se les ha permitido conocer el desarrollo histórico de la medida, lo que conlleva a que no se den cuenta de la necesidad misma de medir, ni de cómo la medida surgió de una “noción de igualdad socialmente aceptada” al comparar el tamaño, la importancia, el valor, etc., en situaciones comerciales o de trueque.

Algunos investigadores afirman que los niños no tienen conciencia de las sutilezas de la noción de replicación de la unidad, es decir, la repetición de una única unidad de medida, a partir de lo cual el hombre ha llegado al número y al recuento; y que de este hecho nació la necesidad de patrones de medida fijos.

Los conceptos de medida aparecen en situaciones cuyo propósito es enseñar y aprender sobre el número. Se supone que la medida es intuitiva y está lo suficientemente poseída y comprendida por los alumnos como para servir de marco intuitivo en cuyo seno explicar las operaciones aritméticas. Tal presunción ha de ser puesta en tela de juicio.

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS

Este componente del currículo de matemáticas debe garantizar que los estudiantes sean capaces de plantear situaciones susceptibles de ser analizadas mediante la recolección sistemática y organizada de datos. Los estudiantes, además, deben estar en capacidad de ordenar y presentar estos datos y, en grados posteriores, seleccionar y utilizar métodos estadísticos para analizarlos y desarrollar y evaluar inferencias y predicciones a partir de ellos. De igual manera, los estudiantes desarrollarán un comprensión progresiva de los conceptos fundamentales de la probabilidad. Relación de la aleatoriedad con el azar y noción del azar como opuesto a lo deducible, como un patrón que explica los sucesos que no son predecibles o de los que no se conoce la causa. Ejemplos en situaciones reales. Tendencias, predicciones, conjeturas.

En la sociedad actual la estadística aporta métodos para analizar datos, determinar relaciones entre variables, presentar información, hacer predicciones y proporciona criterios para la toma de decisiones.

En Colombia se ha iniciado la enseñanza de la estadística incluso desde la primaria y en la educación básica y media. En muchas instituciones educativas se ha introducido la asignatura estadística desde el grado sexto. Con la introducción de los pensamientos matemáticos, se habla hoy en día del pensamiento aleatorio y los sistemas de datos.

Se propone que los estudiantes:

Planteen preguntas de investigación y diseñen los estamentos apropiados para la recolección de los datos.
Organicen los datos en tablas.
Realicen gráficas estadísticas.
Determinen estadígrafos para comprender el comportamiento de los datos.
Analicen las tablas las gráficas produzcan conclusiones y realicen predicciones.
Razonen sobre la incertidumbre y el azar.
Adquiera la capacidad para comunicar ideas estadísticas.

Se propone desarrollar el pensamiento estadístico haciendo énfasis en el análisis exploratorio de datos y sobre todo en los procesos de razonamiento estadístico demostrando las aplicaciones y la utilidad de la estadística.

Para lograr lo anterior se propone trabajar por proyectos, teniendo en cuenta los elementos de un problema estadístico de investigación. La selección de los temas se puede hacer por consenso entre los estudiantes y el docente. La propuesta incluye el uso de programas de fácil manejo como la hoja electrónica Excel.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALITICOS

El álgebra tiene sus raíces históricas en el estudio de los métodos generales para resolver ecuaciones. Este estándar enfatiza en las relaciones entre las cantidades, incluyendo las funciones, las formas de representar relaciones matemáticas y el análisis de cambio.

Las relaciones funcionales pueden expresarse mediante símbolos que permiten que las ideas complejas puedan expresarse de manera eficiente. Pero el álgebra es mucho más que símbolos. Los estudiantes necesitan aprender el concepto de álgebra, las estructuras y los principios que gobiernan la manipulación de los símbolos y la forma como los mismos símbolos pueden usarse para interpretar ideas.

Con este estándar se pretende preparar a los estudiantes para:

Usar modelos matemáticos para representar y entender relaciones cuantitativas.
Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas usando símbolos
matemáticos.
Entender patrones, relaciones y funciones.

Interpretar ideas utilizando un lenguaje de símbolos, realizar relaciones entre cantidades, incluyendo las funciones, las formas de representar relaciones matemáticas y el análisis de cambio.